机器学习算法笔记：树回归

2019-3-8

线性回归模型中，其前提是假设全局的数据之间是线性的，通过拟合所有的样本点，训练得到最终的模型。然而现实中的很多问题是非线性的，当处理这类复杂的数据的回归问题时，特征之间的关系并不是简单的线性关系，此时，不可能利用全局的线性回归模型拟合这类数据。

CART树回归算法属于一种局部的回归算法，通过将全局的数据集划分成多份容易建模的数据集，这样在每一个局部的数据集上进行局部的回归建模。

复杂的回归问题

线性回归模型

在基本的线性回归算法中，样本的特征与样本的标签之间存在线性相关关系，但是，对于样本特征与样本标签存在非线性的关系时，如图所示：

对于上图所示的非线性的回归问题，利用简单的线性回归求解的结果如图所示：

局部加权线性回归

为了能够实现对非线性数据的拟合，可以使用局部加权线性回归，局部加权线性回归的求解结果如图所示：

局部加权线性回归能够对非线性的数据实现较好拟合，与简单的线性回归算法相比，局部线性加权回归算法是局部的线性模型，而简单的线性回归模型是全局的模型，利用局部的模型能够较好拟合出局部的数据。虽然基于局部加权线性回归模型能够较好拟合非线性数据，但是局部加权线性回归模型属于非参学习算法，在每次对数据进行预测时，需要利用数据重新训练模型的参数，当数据量较大时，这样的计算是非常耗费时间的。

CART算法

基于树的回归算法也是一类基于局部的回归算法，通过将数据集切分成多份，在每一份数据中单独建模。与局部加权线性回归不同的是，基于树回归的算法是一种基于参数的学习算法，利用训练数据训练完模型后，参数一旦确定，无需再改变。

分类回归树（Classification And Regression Tree，CART）算法是使用较多的一种树模型，CART算法可以处理分类问题，也可以处理回归问题。在决策树算法文章中，我们介绍了如何利用CART算法处理分类问题，在本文中，我们着重介绍如何利用CART算法处理回归问题。CART算法中的树采用一种二分递归分割的技术，即将当前的样本集分为左子树和右子树两个子样本集，使得生成的每个非叶子节点都有两个分支。因此，CART算法生成的决策树是非典型的二叉树。利用CART算法处理回归问题的主要步骤：①CART回归树的生成；②CART回归树的剪枝。

CART回归树生成

CART回归树的划分

CART分类树算法中，利用Gini指数作为划分树的指标，通过样本中的特征，对样本进行划分，直到所有的叶节点中的所有样本都为同一个类别为止。但是在 CART 回归树中，样本的标签是一系列的连续值的集合，不能再使用 Gini 指数作为划分树的指标。但是，我们注意到，Gini指数表示的是数据的混乱程度，对于连续数据，当数据分布比较分散时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。因此，对于连续的数据，可以使用样本与平均值的差的平方和作为划分回归树的指标：

$m\cdot s^2 = \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\bar{y})^2$

其中 $y^{(i)}$ 为第i个样本的标签， $\bar{y}$ 为m个样本标签的均值。公式用Python表示为：

import numpy as np

def err_cnt(dataSet):

'''回归树的划分指标

input: dataSet(list):训练数据

output: m*s^2(float):总方差

'''

data = np.mat(dataSet)

return np.var(data[:, -1]) * np.shape(data)[0]

rr_cnt函数用于计算当前节点的总方差。有了划分的标准，那么，应该如何对样本进行划分呢？与CART分类树中的方法一样，我们根据每一维特征中的每一个取值，尝试将样本划分到树节点的左右子树中，如取得样本特征中的第 j维特征中值x作为划分的值，如果一个样本在第 j维处的值大于或者等于x，则将其划分到右子树中，否则划分到左子树中。划分过程程序如下：

def split_tree(data, fea, value):

'''根据特征fea中的值value将数据集data划分成左右子树

input: data(list):训练样本

fea(float):需要划分的特征index

value(float):指定的划分的值

output: (set_1, set_2)(tuple):左右子树的聚合

'''

set_1 = [] # 右子树的集合

set_2 = [] # 左子树的集合

for x in data:

if x[fea] >= value:

set_1.append(x)

else:

set_2.append(x)

return (set_1, set_2)

split_tree函数根据fea位置处的特征，按照值value将样本划分到左右子树中，当样本在fea处的值大于或者等于value时，将其划分到右子树中，否则将其划分到左子树中。

CART回归树的构建

CART分类树的构建过程如下所示：

对于当前训练数据集，遍历所有属性及其所有可能的切分点，寻找最佳切分属性及其最佳切分点，使得切分之后的基尼指数最小，利用该最佳属性及其最佳切分点将训练数据集切分成两个子集，分别对应着判别结果是左子树和判别结果是右子树。
对第一步中生成的两个数据子集递归地调用第一步，直至满足停止条件。
生成CART决策树

为了能构建CART回归树算法，首先，需要为CART回归树中节点设置一个结构，其具体的实现：

class node:

'''树的节点的类

'''

def __init__(self, fea=-1, value=None, results=None, right=None, left=None):

self.fea = fea # 用于切分数据集的属性的列索引值

self.value = value # 设置划分的值

self.results = results # 存储叶节点的值

self.right = right # 右子树

self.left = left # 左子树

在CART回归树的节点类中，属性fea表示的是待划分数据集的特征的索引，属性value表示的是划分的具体的值，属性results表示的是叶子节点的具体的值，属性right表示的是右子树，属性left表示的是左子树。现在，让我们一起实现CART回归树：

def build_tree(data, min_sample, min_err):

'''构建树

input: data(list):训练样本

min_sample(int):叶子节点中最少的样本数

min_err(float):最小的error

output: node:树的根结点

'''

# 构建决策树，函数返回该决策树的根节点

if len(data) <= min_sample:

return node(results=leaf(data))

# 1、初始化

best_err = err_cnt(data)

bestCriteria = None # 存储最佳切分属性以及最佳切分点

bestSets = None # 存储切分后的两个数据集

# 2、开始构建CART回归树

feature_num = len(data[0]) - 1

for fea in range(0, feature_num):

feature_values = {}

for sample in data:

feature_values[sample[fea]] = 1

for value in feature_values.keys():

# 2.1、尝试划分

(set_1, set_2) = split_tree(data, fea, value)

if len(set_1) < 2 or len(set_2) < 2:

continue

# 2.2、计算划分后的error值

now_err = err_cnt(set_1) + err_cnt(set_2)

# 2.3、更新最优划分

if now_err < best_err and len(set_1) > 0 and len(set_2) > 0:

best_err = now_err

bestCriteria = (fea, value)

bestSets = (set_1, set_2)

# 3、判断划分是否结束

if best_err > min_err:

right = build_tree(bestSets[0], min_sample, min_err)

left = build_tree(bestSets[1], min_sample, min_err)

return node(fea=bestCriteria[0], value=bestCriteria[1], \

right=right, left=left)

else:

return node(results=leaf(data)) # 返回当前的类别标签作为最终的类别标签

build_tree 函数用于构建 CART 回归树模型，在构建 CART回归树模型的过程中，如果节点中的样本的个数小于或者等于指定的最小的样本数min_sample，则该节点不再划分，函数leaf用于计算当前叶子节点的值；当节点需要划分时，首先计算当前节点的error值在开始构建的过程中，根据每一维特征的取值尝试将样本划分到左右子树中。划分后产生左子树和右子树，此时，计算左右子树的error值，若此时的error值小于最优的 error 值，则更新最优划分，当该节点划分完成后，继续对其左右子树进行划分：

def leaf(dataSet):

'''计算叶节点的值

input: dataSet(list):训练样本

output: np.mean(data[:, -1])(float):均值

'''

data = np.mat(dataSet)

return np.mean(data[:, -1])

函数leaf用于计算当前叶子节点的值，计算的方法是使用划分到该叶子节点的所有样本的标签的均值。

CART回归树剪枝

在CART树回归中，当树中的节点对样本一直划分下去时，会出现的最极端的情况是：每一个叶子节点中仅包含一个样本，此时，叶子节点的值即为该样本的标签的值。这种情况极易对训练样本“过拟合”，通过这样的方式训练出来的样本可以对训练样本拟合得很好，但是对于新样本的预测效果将会较差。为了防止构建好的CART树回归模型过拟合，通常需要对CART回归树进行剪枝，剪枝的目的是防止CART回归树生成过多的叶子节点。在剪枝中主要分为：前剪枝和后剪枝。

前剪枝

前剪枝是指在生成CART回归树的过程中对树的深度进行控制，防止生成过多的叶子节点。在build_tree函数中，我们通过参数min_sample和min_err来控制树中的节点是否需要进行更多的划分。通过不断调节这两个参数，来找到一个合适的CART树模型。

后剪枝

后剪枝是指将训练样本分成两个部分，一部分用来训练CART树模型，这部分数据被称为训练数据，另一部分用来对生成的CART树模型进行剪枝，这部分数据被称为验证数据。由上述过程可知，在后剪枝的过程中，通过验证生成好的CART树模型是否在验证数据集上发生了过拟合，如果出现过拟合的现象，则合并一些叶子节点来达到对CART树模型的剪枝。

参考链接：https://github.com/apachecn/AiLearning/blob/master/src/py2.x/ml/9.RegTrees/regTrees.py

CART回归树对数据预测

有了以上的理论准备，我们利用上述实现好的函数，构建CART树回归模型。利用CART回归树算法进行求解的过程中，主要包括：①利用训练数据训练CART回归树模型；②利用训练好的CART回归树模型对新数据进行预测。

当训练好CART回归树，需要评估训练好的CART回归树模型时，函数cal_error用于评估训练好的CART回归树模型：

def cal_error(data, tree):

''' 评估CART回归树模型

input: data(list):

tree:训练好的CART回归树模型

output: err/m(float):均方误差

'''

m = len(data) # 样本的个数

n = len(data[0]) - 1 # 样本中特征的个数

err = 0.0

for i in xrange(m):

tmp = []

for j in xrange(n):

tmp.append(data[i][j])

pre = predict(tmp, tree) # 对样本计算其预测值

# 计算残差

err += (data[i][-1] - pre) * (data[i][-1] - pre)

return err / m

函数cal_error用于评估训练好的CART回归树模型，函数的输入分别为训练数据data和训练好的CART回归树模型tree，在评估CART回归树模型的过程中，利用训练好的CART回归树模型对每一个样本进行预测，函数predict的具体实现如下所示。当预测完成后，利用预测的值和原始的样本的标签计算残差。

def predict(sample, tree):

'''对每一个样本sample进行预测

input: sample(list):样本

tree:训练好的CART回归树模型

output: results(float):预测值

'''

# 1、只是树根

if tree.results != None:

return tree.results

else:

# 2、有左右子树

val_sample = sample[tree.fea] # fea处的值

branch = None

# 2.1、选择右子树

if val_sample >= tree.value:

branch = tree.right

# 2.2、选择左子树

else:

branch = tree.left

return predict(sample, branch)

函数 predict 利用训练好的 CART 回归树模型 tree 对样本sample进行预测。在预测的过程中，主要分为如下的情况：

若此时只有根结点，则直接返回其值作为最终的预测结果
若此时该结点有左右子树，则比较样本sample中在fea索引处的值val_sample和CART回归树模型中在划分处的值value
- 若val_sample大于或等于CART回归树模型中的值value，则选择右子树
- 若val_sample小于CART回归树模型中的值value，则选择左子树

最终对数据的拟合效果如图：

对min_sample和min_err取值进行调整，如图所示：

Python 中用 Scikit-Learn 实现决策树

决策树分类

from sklearn import tree

from sklearn.datasets import load_iris

import graphviz

iris = load_iris()

clf = tree.DecisionTreeClassifier(criterion="gini",splitter="best")

clf.fit(iris.data, iris.target)

dot_data = tree.export_graphviz(clf, out_file=None,

feature_names=iris.feature_names,

class_names=iris.target_names,

filled=True, rounded=True,

special_characters=True)

graph = graphviz.Source(dot_data)

graph.view('iris','data')

决策树回归

# -*- coding:utf-8 -*-

from sklearn.datasets import load_boston

from sklearn.model_selection import train_test_split

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor

from sklearn.metrics import r2_score, mean_absolute_error, mean_squared_error

boston = load_boston()

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, test_size=0.25, random_state=33)

ss_X = StandardScaler()

ss_y = StandardScaler()

X_train = ss_X.fit_transform(X_train)

X_test = ss_X.transform(X_test)

# fit_transform与transform都要求操作2D数据，而此时的y_train与y_test都是1D的，因此需要调用reshape(-1,1)，例如：[1,2,3]变成[[1],[2],[3]]

y_train = ss_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))

y_test = ss_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))

dtr = DecisionTreeRegressor()

dtr.fit(X_train, y_train)

dtr_y_predict = dtr.predict(X_test)

# 使用R-squared、MSE、MAE指标评估

print('R-squared:', dtr.score(X_test, y_test))

print('MSE:', mean_squared_error(ss_y.inverse_transform(y_test), ss_y.inverse_transform(dtr_y_predict)))

print('MAE:', mean_absolute_error(ss_y.inverse_transform(y_test), ss_y.inverse_transform(dtr_y_predict)))

参考资料：《Python机器学习算法-赵志勇》

THE END

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