矩阵乘法了解下，真的蛮有趣的！
我在大学学习数学时，我必须学习的第一门、也是最重要的一门课程就是线性代数--矩阵和向量空间理论。当然，我当时并不知道自己错过了多少美妙的时光。
后来，我发现线性代数在数学领域中随处可见，它实际上是一门非常美妙的学科。从概率论到微分方程，再到群论和解析数论等等，它在许多地方都发挥着关键作用，令人叹为观止！
它几乎适用于任何事物，有些学科尤其与矩阵有关，例如“图像”--具有所谓节点和边的数学对象。长期以来，我们一直通过将图像转换为矩阵、保留其拓扑结构，然后利用丰富的线性代数理论（如特征理论、子空间理论等）来检索有关图像的信息来研究图。
然而，这实际上是等价的。我们还可以将 矩阵转换成图像，通过图来理解矩阵。 例如:
可以用图形表示
其中，图中的三个节点代表矩阵的三行和三列，节点之间的加权有向边对应矩阵的数字。
例如，在 A1 和 A2 之间有一条权重为 5 的边，这与矩阵第一行和第二列的条目上有数字 5 相对应，而且这种模式还在继续。从节点出来的边对应行，进入节点的边对应列。这样，我们就可以将向量表示成图形。
事实上，我们很快就会意识到，这种等价性意味着我们可以对图形做一些奇特而令人兴奋的事情，比如将函数应用于图形、求其 “特征图”、将不同的图形相乘、求图形的行列式等等。我们甚至可以用图形将实数和复数可视化。
图形算术
最深刻的理解是矩阵乘法原来等价于遍历图中的某些路径！
有些人可能还记得两个矩阵相乘的公式。假设我们有两个一般的 2×2 矩阵，将它们相乘可以得到下面这个看起来很可怕的公式：
其中所有字母都代表实数。让我们从左边开始，从图形的角度来看这个问题。我们有两个相应的图形，分别代表我们想要相乘的矩阵：
请注意，红色节点是同一个节点，黄色节点也是同一个节点，但我之所以选择将它们分割成两个互不相连的图，是有教学原因的！我们将它们分别称为 “上图 ”和 “下图”。
下面是将它们相乘的规则：为了找到所得矩阵的第一行和第一列的入口值，我们从节点 A1 开始，通过两次 “跳跃”，从上图（对应左矩阵）开始，到下图（右矩阵）结束，检查回到 A1 的方法。
因此，我们可以沿着上图的路径a，然后沿着下图的路径e，这样就可以回到 A1 节点。另一种方法是先走路径b，再走路径g。这两条路径是唯一能让我们以这种方式从 A1 跳两次到达自身的组合，因此左上方条目的值为 ae+bg。
让我们再计算一个条目，比如左下方的条目。为此，我们需要找到从上图开始从 A2 到 A1 的路径。我们可以选择从 A2 到 A1 的路径 c，然后选择从 A1 到自身的路径 e。我们也可以先取d，再取g。现在的条目由 ce+dg 给出。
其余的条目就留给感兴趣的读者练习吧。重点是，现在我们有了一种将矩阵和矩阵乘法可视化的方法。
现在，我们可以定义如何通过图乘法将两个图相乘。在下一节中，我们将看到这如何帮助我们理解复数。上述两个图形相乘得到的图形如下
极客提醒：* 对于那些对代数感兴趣的人，我们可以定义图加法和标量乘法，并将具有 N 个节点和实权值的有向图集合做成一个环（当然，它与ℝ中有条目的 N×N 平方矩阵环同构）。
作为图形的复数
让我提醒你，实数和复数都可以用矩阵表示。例如，实数 a 可以用矩阵来表示:
实数乘法等价于矩阵乘法，加法等价于矩阵加法。表示实数 a 的相应图形如下:
现在，在全面表示复数之前，让我们先看看如何表示数字 ：
让我们尝试用图形乘法对 进行平方！当我们用最近定义的乘法计算一个图的平方时，我们只需要追踪 一个 图上的路径。
因此，从 A1 到自身的权重就是这些权重的乘积： -1. 从 A1 到 A2 没有一条路径是正好经过两次跳跃的，如果我们必须经过两次跳跃，也没有一条路径是从 A2 到 A1 的。从 A2 到自身的唯一路径是先经过 1，然后再经过-1，结果又是-1。总之，我们得到如下图形：
这只是实数 -1 的图形表示，当然这也是有道理的，因为 。
将表示 和 的图形相加，将节点粘合在一起，形成图形，即可表示形式为 a + bi 的复数:
##图形函数
假设幂级数收敛，我们用幂级数来定义解析函数。然后，我们就可以定义该函数对图形的作用。由于幂级数保留了图的结构，因此这一点很好定义。
例如，考虑图形:
将指数函数 应用于该图形，我们会得到一个收敛图形，它看起来像:
由于，权重为零的路径等同于不存在的路径，因此在上图中应用指数函数的结果实际上是:
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