最小生成树——普利姆(Prim)算法及C语言/C++代码实现
1. 最小生成树（又名：最小权重生成树）
概念：将给出的所有点连接起来（即从一个点可到任意一个点），且连接路径之和最小的图叫最小生成树。最小生成树属于一种树形结构（树形结构是一种特殊的图），或者说是直链型结构，因为当n个点相连，且路径和最短，那么将它们相连的路一定是n-1条。
可以利用参考一个问题理解最小生成树，有n个村庄，每个村庄之间距离不同，要求村庄之间修路，每一个村庄必须与任意一个村庄联通，如何修路最省钱（修的最短）。
2. 普利姆算法介绍
普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。
具体过程如下：
(1)设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合。
(2)若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1。
(3)若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1。
(4)重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边。
3. 代码实现
不同的题目有不同的细节实现方式，因此本代码仅供参考
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define n 20#define MaxNum 10000 /*定义一个最大整数*/ /*定义邻接矩阵类型*/typedef int adjmatrix[n + 1][n + 1]; typedef struct { int fromvex, tovex; //生成树的起点和终点 int weight; //边的权重} Edge;typedef Edge *EdgeNode; //定义生成树的别名int arcnum; /*边的个数*/ /*建立图的邻接矩阵*/void CreatMatrix(adjmatrix GA) { int i, j, k, e; printf("=============================\n"); printf("图中有%d个顶点\n", n); for(i=1; i<=n; i++) { for(j=1; j<=n; j++) { if(i==j) { GA[i][j]=0; /*对角线的值置为0*/ } else { GA[i][j]=MaxNum; /*其他位置的值置初始化为一个最大整数*/ } } } printf("请输入边的个数：\n"); scanf("%d", &arcnum); printf("请输入边的信息，依照起点，终点，权值的形式输入：\n"); for(k=1; k<=arcnum; k++) { scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&e); /*读入边的信息*/ GA[i][j]=e; GA[j][i]=e; }} /*初始化图的边集数组*/void InitEdge(EdgeNode GE,int m) { int i; for(i=1; i<=m; i++) { GE[i].weight=0; }} /*依据图的邻接矩阵生成图的边集数组*/void GetEdgeSet(adjmatrix GA,EdgeNode GE) { int i, j, k = 1; for(i=1; i<=n; i++) { for(j=i+1; j<=n; j++) { if(GA[i][j] !=0 && GA[i][j] != MaxNum) { GE[k].fromvex = i; GE[k].tovex = j; GE[k].weight = GA[i][j]; k++; } } }} /*按升序排列图的边集数组*/void SortEdge(EdgeNode GE,int m) { int i,j,k; Edge temp; for(i=1; i<m; i++) { k=i; for(j=i+1; j<=m; j++) { if(GE[k].weight > GE[j].weight) { k=j; } } if(k!=i) { temp = GE[i]; GE[i]=GE[k]; GE[k]=temp; } }} /*利用普里姆算法从初始点v出发求邻接矩阵表示的图的最小生成树*/void Prim(adjmatrix GA,EdgeNode T) { int i,j,k,min,u,m,w; Edge temp; /*给T赋初值。相应为v1依次到其余各顶点的边*/ k=1; for(i=1; i<=n; i++) { if(i!=1) { T[k].fromvex=1; T[k].tovex=i; T[k].weight=GA[1][i]; k++; } } /*进行n-1次循环，每次求出最小生成树中的第k条边*/ for(k=1; k<n; k++) { min=MaxNum; m=k; for(j=k; j<n; j++) { if(T[j].weight<min) { min=T[j].weight; m=j; } } /*把最短边对调到k-1下标位置*/ 可用swap替换 temp=T[k]; T[k]=T[m]; T[m]=temp; /*把新增加最小生成树T中的顶点序号赋给j*/ j=T[k].tovex; /*改动有关边，使T中到T外的每个顶点保持一条到眼下为止最短的边*/ for(i=k+1; i<n; i++) { u=T[i].tovex; w=GA[j][u]; if(w<T[i].weight) { T[i].weight=w; T[i].fromvex=j; } } }} /*输出边集数组的每条边*/void OutEdge(EdgeNode GE,int e) { int i; printf("依照起点，终点。权值的形式输出的最小生成树为：\n"); for(i=1; i<=e; i++) { printf("%d,%d,%d\n",GE[i].fromvex,GE[i].tovex,GE[i].weight); } printf("=============================\n");} int main() { adjmatrix GA; Edge GE[n*(n-1)/2], T[n]; CreatMatrix(GA); InitEdge(GE,arcnum); GetEdgeSet(GA,GE); SortEdge(GE,arcnum); Prim(GA,T); printf("\n"); OutEdge(T,n-1); return 0;} |
THE END
