递归算法总结及c语言代码实现

2018-10-0208:17:33数据结构与算法Comments3,570 views字数 4999阅读模式

这篇文章主要是受到宋劲松老师写的《Linux C编程》的递归章节启发写的。最能体现算法精髓的非递归莫属了,希望这篇文章对初学递归或者对递归有困惑的朋友们能有所帮助,如有错误,也恳请各路大牛指正。二叉树的递归示例代码请参见仓库的 binary_tree 目录,本文其他代码在 这里文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

1 递归算法初探

本段内容主要摘自《linux C一站式编程》,作者是宋劲松老师,这是我觉得目前看到的国内关于Linux C编程的最好的技术书籍之一,强烈推荐下!文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

关于递归的一个简单例子是求整数阶乘,n!=n*(n-1)!,0!=1 。则可以写出如下的递归程序:文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

int factorial(int n)
{
	if (n == 0)
		return 1;
	else {
		int recurse = factorial(n-1);
		int result = n * recurse;
		return result;
	}
}
复制代码

factorial这个函数就是一个递归函数,它调用了它自己。自己直接或间接调用自己的函数称为递归函数。如果觉得迷惑,可以把 factorial(n-1) 这一步看成是在调用另一个函数--另一个有着相同函数名和相同代码的函数,调用它就是跳到它的代码里执行,然后再返回 factorial(n-1) 这个调用的下一步继续执行。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

为了证明递归算法的正确性,我们可以一步步跟进去看执行结果。记得刚学递归算法的时候,老是有丈二和尚摸不着头脑的感觉,那时候总是想着把递归一步步跟进去看执行结果。递归层次少还算好办,但是层次一多,头就大了,完全不知道自己跟到了递归的哪一层。比如求阶乘,如果只是factorial(3)跟进去问题还不大,但是若是factorial(100)要跟进去那真的会烦死人。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

事实上,我们并不是每个函数都需要跟进去看执行结果的,比如我们在自己的函数中调用printf函数时,并没有钻进去看它是怎么打印的,因为我们相信它能完成打印工作。 我们在写factorial函数时有如下代码:文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

int recurse = factorial(n-1);
int result = n * recurse;
复制代码

这时,如果我们相信factorial是正确的,那么传递参数为n-1它就会返回(n-1)!,那么result=n*(n-1)!=n!,从而这就是factorial(n)的结果。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

当然这有点奇怪:我们还没写完factorial这个函数,凭什么要相信factorial(n-1)是正确的?如果你相信你正在写的递归函数是正确的,并调用它,然后在此基础上写完这个递归函数,那么它就会是正确的,从而值得你相信它正确。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

这么说还是有点玄乎,我们从数学上严格证明一下 factorial 函数的正确性。刚才说了,factorial(n) 的正确性依赖于 factorial(n-1) 的正确性,只要后者正确,在后者的结果上乘个 n 返回这一步显然也没有疑问,那么我们的函数实现就是正确的。因此要证明factorial(n) 的正确性就是要证明 factorial(n-1) 的正确性,同理,要证明factorial(n-1) 的正确性就是要证明 factorial(n-2) 的正确性,依此类推下去,最后是:要证明 factorial(1) 的正确性就是要证明 factorial(0) 的正确性。而factorial(0) 的正确性不依赖于别的函数调用,它就是程序中的一个小的分支return 1; 这个 1 是我们根据阶乘的定义写的,肯定是正确的,因此 factorial(1) 的实现是正确的,因此 factorial(2) 也正确,依此类推,最后 factorial(n) 也是正确的。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

其实这就是在中学时学的数学归纳法,用数学归纳法来证明只需要证明两点:Base Case正确,递推关系正确。写递归函数时一定要记得写Base Case,否则即使递推关系正确,整个函数也不正确。如果 factorial 函数漏掉了Base Case,那么会导致无限循环。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

2 递归经典问题

从上一节的一个关于求阶乘的简单例子的论述,我们可以了解到递归算法的精髓:要从功能上理解函数,同时你要相信你正在写的函数是正确的,在此基础上调用它,那么它就是正确的。 下面就从几个常见的算法题来看看如何理解递归,这是我的一些理解,欢迎大家提出更好的方法。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

2.1)汉诺塔问题

题: 汉诺塔问题是个常见问题,就是说有n个大小不等的盘子放在一个塔A上面,自底向上按照从小到大的顺序排列。要求将所有n个盘子搬到另一个塔C上面,可以借助一个塔B中转,但是要满足任何时刻大盘子不能放在小盘子上面。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

解: 基本思想分三步,先把上面的 N-1 个盘子经 C 移到 B,然后将最底下的盘子移到 C,再将 B 上面的N-1个盘子经 A 移动到 C。总的时间复杂度 f(n)=2f(n-1)+1,所以 f(n)=2^n-1文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

/**
 * 汉诺塔
 */
void hano(char a, char b, char c, int n) {
    if (n <= 0) return;

    hano(a, c, b, n-1);
    move(a, c);
    hano(b, a, c, n-1);
}

void move(char a, char b)
{
    printf("%c->%c\n", a, b);
}
复制代码

2.2)求二叉树的深度

这里的深度指的是二叉树从根结点到叶结点最大的高度,比如只有一个结点,则深度为1,如果有N层,则高度为N。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

int depth(BTNode* root)  
{  
    if (root == NULL)  
        return 0;  
    else {  
        int lDepth = depth(root->left);  //获取左子树深度  
        int rDepth = depth(root->right); //获取右子树深度  
        return lDepth>rDepth? lDepth+1: rDepth+1; //取较大值+1即为二叉树深度  
    }  
}  
复制代码

那么如何从功能上理解 depth 函数呢?我们可以知道定义该函数的目的就是求二叉树深度,也就是说我们要是完成了函数 depth,那么 depth(root) 就能正确返回以 root 为根结点的二叉树的深度。因此我们的代码中 depth(root->left) 返回左子树的深度,而depth(root->right) 返回右子树的深度。尽管这个时候我们还没有写完 depth 函数,但是我们相信 depth 函数能够正确完成功能。因此我们得到了 lDepthrDepth,而后通过比较返回较大值加1为二叉树的深度。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

如果不好理解,可以想象在 depth 中调用的函数 depth(root->left) 为另外一个同样名字完成相同功能的函数,这样就好理解了。注意 Base Case,这里就是当 root==NULL 时,则深度为0,函数返回0文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

2.3)判断二叉树是否平衡

一颗平衡的二叉树是指其任意结点的左右子树深度之差不大于1。判断一棵二叉树是否是平衡的,可以使用递归算法来实现。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

int isBalanceBTTop2Down(BTNode *root)
{
    if (!root) return 1;

    int leftHeight = btHeight(root->left);
    int rightHeight = btHeight(root->right);
    int hDiff = abs(leftHeight - rightHeight);

    if (hDiff > 1) return 0;

    return isBalanceBTTop2Down(root->left) && isBalanceBTTop2Down(root->right);
}
复制代码

该函数的功能定义是二叉树 root 是平衡二叉树,即它所有结点的左右子树深度之差不大于1。首先判断根结点是否满足条件,如果不满足,则直接返回 0。如果满足,则需要判断左子树和右子树是否都是平衡二叉树,若都是则返回1,否则0。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

2.4)排列算法

排列算法也是递归的典范,记得当初第一次看时一层层跟代码,头都大了,现在从函数功能上来看确实好理解多了。先看代码:文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

/**
 * 输出全排列,k为起始位置,n为数组大小
 */
void permute(int a[], int k, int n)
{
    if (k == n-1) {
        printIntArray(a, n); // 输出数组
    } else {
        int i;
        for (i = k; i < n; i++) {
            swapInt(a, i, k); // 交换
            permute(a, k+1, n); // 下一次排列
            swapInt(a, i, k); // 恢复原来的序列
        }
    }
}
复制代码

首先明确的是 perm(a, k, n) 函数的功能:输出数组 a 从位置 k 开始的所有排列,数组长度为 n。这样我们在调用程序的时候,调用格式为 perm(a, 0, n),即输出数组从位置 0 开始的所有排列,也就是该数组的所有排列。基础条件是 k==n-1,此时已经到达最后一个元素,一次排列已经完成,直接输出。否则,从位置k开始的每个元素都与位置k的值交换(包括自己与自己交换),然后进行下一次排列,排列完成后记得恢复原来的序列。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

假定数组a大小N=3,则程序调用 perm(a, 0, 3) 可以如下理解: 第一次交换 0,0,并执行perm(a, 1, 3),执行完再次交换0,0,数组此时又恢复成初始值。 第二次交换 1,0(注意数组此时是初始值),并执行perm(a, 1, 3), 执行完再次交换1,0,数组此时又恢复成初始值。 第三次交换 2,0,并执行perm(a, 1, 3),执行完成后交换2,0,数组恢复成初始值。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

也就是说,从功能上看,首先确定第0个位置,然后调用perm(a, 1, 3)输出从1开始的排列,这样就可以输出所有排列。而第0个位置可能的值为a[0], a[1],a[2],这通过交换来保证第0个位置可能出现的值,记得每次交换后要恢复初始值。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

如数组 a={1,2,3},则程序运行输出结果为:1 2 3 ,1 3 2 ,2 1 3 ,2 3 1 ,3 2 1 ,3 1 2。即先输出以1为排列第一个值的排列,而后是2和3为第一个值的排列。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

2.5)组合算法

组合算法也可以用递归实现,只是它的原理跟0-1背包问题类似。即要么选要么不选,注意不能选重复的数。完整代码如下:文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

/*
 * 组合主函数,包括选取1到n个数字
 */ 
void combination(int a[], int n)
{
    int *select = (int *)calloc(sizeof(int), n); // select为辅助数组,用于存储选取的数
    int k;
    for (k = 1; k <= n; k++) {
        combinationUtil(a, n, 0, k, select);
    }
}

/*
 * 组合工具函数:从数组a从位置i开始选取k个数
 */
void combinationUtil(int a[], int n, int i, int k, int *select)
{
    if (i > n) return; //位置超出数组范围直接返回,否则非法访问会出段错误

    if (k == 0) {  //选取完了,输出选取的数字
        int j;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (select[j])
                printf("%d ", a[j]);
        }
        printf("\n");
    } else {
        select[i] = 1;  
        combinationUtil(a, n, i+1, k-1, select); //第i个数字被选取,从后续i+1开始选取k-1个数
        select[i] = 0;
        combinationUtil(a, n, i+1, k, select); //第i个数字不选,则从后续i+1位置开始还要选取k个数
    }
}
复制代码

2.6) 逆序打印字符串

这个比较简单,代码如下:文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

void reversePrint(const char *str) 
{
    if (!*str)
        return;

    reversePrint(str + 1);
    putchar(*str);
}
复制代码

2.7) 链表逆序

链表逆序通常我们会用迭代的方式实现,但是如果要显得特立独行一点,可以使用递归,如下,代码请见仓库的 aslist 目录。文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

/**
 * 链表逆序,递归实现。
 */
ListNode *listReverseRecursive(ListNode *head)
{
    if (!head || !head->next) {
        return head;
    }

    ListNode *reversedHead = listReverseRecursive(head->next);
    head->next->next = head;
    head->next = NULL;
    return reversedHead;
}
复制代码

参考资料

  • 宋劲松老师《Linux C编程》递归章节
  • 数据结构与算法-C语言实现

作者:ssjhust
来源:掘金文章源自菜鸟学院-https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

  • 本站内容整理自互联网,仅提供信息存储空间服务,以方便学习之用。如对文章、图片、字体等版权有疑问,请在下方留言,管理员看到后,将第一时间进行处理。
  • 转载请务必保留本文链接:https://www.cainiaoxueyuan.com/suanfa/6121.html

Comment

匿名网友 填写信息

:?: :razz: :sad: :evil: :!: :smile: :oops: :grin: :eek: :shock: :???: :cool: :lol: :mad: :twisted: :roll: :wink: :idea: :arrow: :neutral: :cry: :mrgreen:

确定